Você misturou o MySQL com o MySQLi, o que nunca funcionará. Você conectou usando o MySQLi então tentou fazer uma consulta usando o MySQL. Sua consulta deve ser:
$sql = mysqli_query($conn,"INSERT INTO hgcasestudy (name, email, number, phonename, birthday) VALUES ($name, $email, $number, $manufacturer, $birth)");
Também deve ser salientado que você está vulnerável a ataques de injeção usando valores de formulário sem QUALQUER verificação ou higienização.