Supondo que você possa acessar o site pela Internet usando www.tempurl.com e que os e-mails estão funcionando no momento, será possível apenas atualizar o registro DNS A do host de produção para apontar para o novo endereço IP e NÃO alterar os registros MX existentes.
Você também deve ter em mente que, se não usar o IP elástico na AWS, seu endereço IP público para o servidor da AWS será alterado se for reiniciado. Consulte o link para obter mais detalhes.