Tenho certeza de que isso não é possível com um mouse padrão. Contudo. Logitech e A Razer vende mouses de jogos que têm 5, 7 e mais botões neles, e cada um pode ser atribuído ou mapeado a uma função no teclado.
Esta seria a sua melhor aposta, pois não renderiza o clique do mouse inútil e você ainda consegue clicar em um botão do mouse para ativar uma tecla no teclado.