Na verdade, não vou mudar para outro software porque estou muito feliz com o Thunderbird.
Depois de pensar um pouco, eu fui e editei configurações de conta (não preferências, o que me enganou desde o começo) e mudei o Configurações do servidor para as contas.
- em vez de ambos serem verificados no início, agora o principal está sendo verificado no início;
- então, caso eu esqueça de fazer um manual Obter mensagem (canto superior esquerdo), eu verifiquei a outra conta após 3 minutos.