Eu descobri onde estava o problema. Então, no caso de alguém ter o mesmo problema, ele pode fazer isso:
Na função mail do php, eu não estava especificando o endereço do remetente do envelope e, portanto, o php estava padronizando-o para algo como mywebsite @ server.isp.com.
Eu especifiquei isso como um parâmetro adicional: '-f [email protected]'
Agora a função de e-mail do php será parecida com esta: mail ($ toaddress, $ assunto, $ mailcontent, $ fromaddress, '-f [email protected]');
Isso resolveu meu problema.