O certificado não fará a transição automaticamente. Se o novo certificado já estiver instalado, você precisará acessar as Ligações do site no IIS (clique com o botão direito do mouse no site e selecione "Ligações") e selecione o novo certificado. Não irá reiniciar o IIS. A mudança será instantânea (por isso, se você cometer um erro, ele pode quebrar as coisas - insira um aviso de que, se for um site crítico, as janelas de manutenção estarão sempre mais seguras).