Você pode usar o PulseAudio para enviar saídas da maioria dos aplicativos do Linux para outros aplicativos.
Execute pactl load-module module-virtual-sink sink_name=insertsomefancynamehere no seu Terminal.
Instale o pavucontrol e execute-o. Você deverá ver todos os aplicativos conectados ao servidor PulseAudio. Certifique-se de que o aplicativo que você deseja transmitir (por exemplo, Spotify) esteja tocando algo e esteja visível na guia Reprodução.
Altere sua saída para o coletor virtual criado por você. Agora clique na guia Gravação e para o mesmo para o aplicativo que é usado para fazer streaming (por exemplo, TeamSpeak).
O TeamSpeak deve ouvir o Spotify agora: D