Eu não acho que a ramificação ou a bifurcação resolvam o problema para você. Eu acredito que você precisa abordar isso de um ângulo completamente diferente.
O código que é compartilhado entre os sites é efetivamente uma biblioteca de códigos e deve, portanto, residir em uma pasta de biblioteca comum. Em um ambiente LAMP, isso seria / usr / share / php /. Os sites individuais, em seguida, formam projetos próprios, com pastas para CSS, JS, imagens, etc, e alguns arquivos que fazem uso do código da biblioteca. Se isso for feito de forma inteligente, você provavelmente precisará apenas de um arquivo index.php (e algumas regras de reconfiguração).
Neste momento, isso provavelmente parece uma grande tarefa, mas tenho certeza que ramificar ou bifurcar no git não é o caminho para abordar esse problema.