O primeiro passo é reduzir o TTL no registro MX 24 horas antes da mudança para um valor muito baixo, como 5 minutos. Então, quando você realmente realizar a migração, apenas as solicitações DNS feitas nos últimos 5 minutos armazenarão em cache o antigo IP do servidor de mensagens. Depois de determinar que tudo foi movido corretamente e você não estará desfazendo a migração, defina os TTLs de volta ao valor normal. Você deve fazer isso para todos os registros que você está movendo, a menos que você queira que o tráfego da Web vá para o servidor antigo.
Não tenho certeza, mas mover contas do sistema cPanel pode, de fato, remover a configuração de e-mail dos domínios dessa conta. Dito isto, o correio que teria sido aceito pode ser rejeitado após a mudança. Isso é uma sacola para você, já que isso significará que os servidores de e-mail remetentes colocarão as mensagens em uma fila de nova tentativa e tentarão entregar uma data posterior (usando os novos registros MX e o novo host de e-mail). Claro, isso significa que haverá um atraso para essas mensagens.