Sua placa-mãe tem um Realtek RTL8111E Controlador Gigabit Ethernet.
O driver embutido no kernel Linux deve funcionar, mas se você deseja instalar o driver mais recente fornecido pelo fabricante, pode obtê-lo aqui .
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Abra o arquivo baixado no Gerenciador de arquivos e extraia-o, por exemplo, para a pasta "Downloads", conforme mostrado abaixo:
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Abra um terminal com
Ctrl-Alt-T
e mude para esse diretório, por exemplo,cd Downloads/r8168-8.031.00
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Digite
sudo ./autorun.sh
e isso deve resolver remover o driver antigo e instalar o novo.