Seu navegador precisa descobrir para qual endereço IP um nome de host aponta. Ele pode fazer isso através do arquivo hosts, através de um servidor DNS privado ou através de um servidor DNS público.
Como você já registrou dois nomes de host noip.com, não precisará dessas linhas em seu arquivo de hosts. Você efetivamente tem um servidor de DNS público, apesar de simples.
Apenas certifique-se de que os hosts virtuais do Apache estejam configurados para responder ao ServerName correto. Um deve responder a brico.no-ip.org e o outro a brico-redmine.no-ip.org . Remova ambas as linhas do seu arquivo de hosts, caso contrário, ele terá precedência.
Se você também quiser usar as palavras brico e brico-redmine no seu navegador, será necessário adicionar no-ip.org para o domínio de pesquisa nas configurações do dns-client. Deixe-nos saber qual sistema operacional cliente você usa, se você quiser um conselho específico.