Isso pode ou não ajudar, mas aqui está o arquivo exim.service
padrão do CentOS 7 quando instalar o Exim dos repositórios;
[Unit]
Description=Exim Mail Transport Agent
After=network.target
Conflicts=sendmail.service postfix.service
[Service]
PrivateTmp=true
Environment=QUEUE=1h
EnvironmentFile=-/etc/sysconfig/exim
ExecStartPre=-/usr/libexec/exim-gen-cert
ExecStart=/usr/sbin/exim -bd -q${QUEUE}
[Install]
WantedBy=multi-user.target
Isso começa bem para mim, como eu digo apenas instalando a partir do repositório. Já parece quase o mesmo que o seu, mas sugiro copiá-lo e tentar iniciar o exim com ele para ver se funciona. Se não, a sua instalação do exim não funcionou como esperado?