/home/downloads é o diretório inicial dos downloads do usuário. /home/$USER/Downloads é a pasta de downloads do seu usuário.
Você pode encontrar mais informações aqui: Diferença entre / Home e / home?
Estou usando o Ubuntu 12.04. Eu tentei instalar o Eclipse, então eu segui alguns passos de um site em que eles mencionaram os seguintes passos:
sudo su
chown -R root:root /home/downloads/eclipse && mv /home/downloads/eclipse /opt
ln -s /opt/eclipse/eclipse /usr/local/bin/eclipse
Para executar o uso do eclipse
eclipse
Mas ele me mostrou como eclipse não instalado e me mostrou para instalá-lo. Quando tentei instalá-lo, tive um problema de rede para que ele não fosse instalado. Depois disso, descobri que o diretório Downloads estava perdido.
/home/downloads é o diretório inicial dos downloads do usuário. /home/$USER/Downloads é a pasta de downloads do seu usuário.
Você pode encontrar mais informações aqui: Diferença entre / Home e / home?